[back to Cosine Kitty's math page]

Mandelbrot Polynomials

Update - 23 July 2009

The coefficients for the infinitely iterated Mandelbrot Polynomial are now listed as A000108 in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Apparently what I stumbled across are known as Catalan numbers or Segner numbers, C(n) = (2n)!/(n!(n+1)!).

```
The Mandelbrot Set is a fractal formed by iterating the following formula:

z[0] = 0
z[n] = z[n-1]^2 + c    { when n = 1, 2, 3, ... }

So the first few values of z[n] as a function of c are:

z[0] = 0
z[1] = c
z[2] = c^2 + c
z[3] = (c^2 + c)^2 + c
z[4] = ((c^2 + c)^2 + c)^2 + c
z[5] = (((c^2 + c)^2 + c)^2 + c)^2 + c
...

I got interested in what would happen if you expanded all the binomials into
a flattened polynomial... what would the list of coefficients look like?
If we list the coefficients in increasing order, the first few become:

z[0] = 0
z[1] = 0*1 + 1*c
z[2] = 0*1 + 1*c + 1*(c^2)
z[3] = 0*1 + 1*c + 1*(c^2) + 2*(c^3) + 1*(c^4)
...

If, instead of listing the powers of the variable c, we just print the coefficients
themselves, we get:

z[0] = {0}
z[1] = {0 1}
z[2] = {0 1 1}
z[3] = {0 1 1 2 1}
...

Tonight, I wrote a program that does just that.  So here is its output for the
first 9 Mandelbrot polynomials.  You can see why the darn thing is so complicated!

mandel (  1 )  -------------------------------------------------------------------------------
0
1

mandel (  2 )  -------------------------------------------------------------------------------
0
1
1

mandel (  3 )  -------------------------------------------------------------------------------
0
1
1
2
1

mandel (  4 )  -------------------------------------------------------------------------------
0
1
1
2
5
6
6
4
1

mandel (  5 )  -------------------------------------------------------------------------------
0
1
1
2
5
14
26
44
69
94
114
116
94
60
28
8
1

mandel (  6 )  -------------------------------------------------------------------------------
0
1
1
2
5
14
42
100
221
470
958
1860
3434
6036
10068
15864
23461
32398
41658
49700
54746
55308
50788
41944
30782
19788
10948
5096
1932
568
120
16
1

mandel (  7 )  -------------------------------------------------------------------------------
0
1
1
2
5
14
42
132
365
950
2398
5916
14290
33708
77684
175048
385741
831014
1749654
3598964
7228014
14162220
27049196
50323496
91143114
160617860
275276716
458591432
742179284
1166067016
1777171560
2625062128
3754272037
5193067630
6939692682
8948546308
11120136162
13299362332
15286065700
16859410792
17813777994
17999433372
17357937708
15941684776
13910043524
11500901864
8984070856
6609143792
4562339774
2943492972
1766948340
981900168
502196500
234813592
99582920
37945904
12843980
3807704
971272
208336
36440
4976
496
32
1

mandel (  8 )  -------------------------------------------------------------------------------
0
1
1
2
5
14
42
132
429
1302
3774
10652
29538
80812
218324
582408
1534301
3993030
10269590
26108844
65626918
163107044
400844588
974083128
2340595778
5560968284
13062923500
30336029592
69640352964
158015533208
354347339496
785248461712
1719477330477
3720187393990
7952125694214
16792863663700
35031835376454
72188854953372
146932182777116
295372837865192
586400982013486
1149605839249820
2225301467579844
4252710138415640
8022825031835276
14938862548001560
27452211062573400
49778848242964944
89054473147697354
157160523515654628
273551721580800380
469540646039042536
794643418760272876
1325752376790240280
2180053774442766712
3532711259225506384
5640327912922026260
8870996681171366696
13741246529612440920
20959276151880728336
31472438318100876584
46514944583399578896
67649247253332557392
96791719611591962592
136210493669590627493
188481251186354006062
256386228250001079082
342743629811082484420
450159936955994386738
580706779030058464252
735537050036491961156
914470757914434625800
1115597581733327913554
1334957092752100409132
1566365198635995978988
1801452751402955781592
2029966595320794439668
2240353897304462193848
2420609646335251593480
2559320275988283588176
2646791812246207696810
2676118542978972739644
2644036970936308845148
2551425591643957182856
2403354418943890067404
2208653487832260558008
1979045408073272278264
1727958521630464742736
1469189341596552030212
1215604411161527170376
978057923319151340728
764655844340519788496
580430565842543266504
427417353874088245520
305060580205223726864
210835921361505594848
140960183546144741182
91071943593142473900
56796799826096529620
34150590308701283528
19772322481956974532
11008161481780603512
5884917700519129288
3016191418506637264
1479594496462756340
693434955498545848
309881648709683160
131760770157606224
53181959591958024
20324543852025936
7333879739219600
2490875091238112
793548088258508
236221241425176
65418624260840
16771945556496
3958458557608
854515874096
167453394320
29524775520
4634116312
639097008
76185104
7685024
637360
41696
2016
64
1

mandel (  9 )  -------------------------------------------------------------------------------
0
1
1
2
5
14
42
132
429
1430
4606
14364
43810
131596
390964
1151240
3363133
9750118
28056886
80152748
227377494
640655364
1793215404
4986986168
13781448434
37848254300
103306269964
280263417112
755767816996
2025867409304
5398194738600
14299203591952
37653810688701
98570133024230
256521909225414
663663412897100
1706930089807390
4364426595039604
11093812898913788
28033353858438104
70422002837291222
175865084154629012
436604408356041188
1077540604058822472
2643726144349102332
6448181040666495848
15634961825829063256
37687412945772081520
90310195379140130658
215138987697889482300
509499807078842855804
1199531943799252795512
2807516949767013036540
6532435099515038282088
15110150073211913424568
34745744569472475154480
79427563126557636669860
180498920423742781054328
407763276280432350283288
915730186690090076508336
2044316329571572992096520
4536746451258603685552176
10008084544181525541437648
21946295142986958491005216
47837511966147008398026221
103649213550193793948239110
223226672736540177670132966
477860435747703797041728532
1016770524894840215076586422
2150321525708446303314913916
4519952589154527832719564092
9442904099029667514880416360
19606924238994355876610664454
40460970907631899323504865292
82980604110615382012237974644
169130001951247474244523846808
342577290803102517816971169116
689572928470629665227011638232
1379352239359450897350336644216
2741781920864475522799402765008
5415549467449775472613954010542
10629013040050330153146906318588
20728734298657765338876197244756
40167095669088818744030146664376
77334622168103465630438116540900
147935090222088073132088181371272
281157478035888161972409993101032
530880154719499951069866490258096
995860844915277521206340425850636
1855849376858920501629447813559352
3435697866458789108727281445405736
6318315736467812275050034098856944
11542168939148692270605274883707096
20943948830276132138215169646665520
37748501600228679934476224082231728
67576471808922295343822488686935968
120151795835141553459050404187814090
212171944690143395214107139138528932
372093631881673802980926871149762716
648046891336495407331100034741882152
1120813971728926364054133600105543356
1924935669923514045226678298786238136
3282742569846432540545398066702007576
5558752947317759078085863987514148560
9345865932333406442778966863099884524
15600722454394430338281822046322860536
25854366247539526542838992929039400680
42537092928298819836766680044897050672
69474720115918091105344219274412834488
112639555011108569979939480328997425968
181275810365406137279865771156247110384
289569579704316693844015187473891227040
459101972360919881104420196407509181204
722415668521578406721464428523343978472
1128145718429235787145491784249228145528
1748321037891475652500268338387088444496
2688639819941138035123043477549839005592
4102765146235918676888615949083210981680
6211979428955088955647543823389978003696
9331877019067401262709503460335110557088
13908156252311850012806191419153350363944
20563979211389320578680059906129093186000
30161771100372341007446633263682499447088
43882687105971219516881875082308961523232
63327219625955834864023622738202561463888
90640467858650528772004528209061832941600
128665337592670910641068152657501768943776
181126253571874035417700615793700241937344
252844706966660579774942163893612168754085
349985978831372115291658429534112785832878
480333541896042833489471373940304510029930
653583848211654497217857178264475783029316
881649424912948885545267968901100096726226
1178952490402146224064722268315305076474300
1562684870749208140112942763404908308662788
2053003213669241723254593947005171942841864
2673121933311781812541282882793705803418594
3449260745731497779780307399484473966845388
4410400032648403236584051951432551358868236
5587796699064813023481904033021917413471800
7014216818665684248090649266950316929937428
8722850262771219245470450741802751355851544
10745887515313571388631895124227727283678472
13112760387937095407883247500108224962454544
15848076139733749121589268209412518291135218
18969307550404377181762960789892290009282764
22484337853297568092264814056212764530465436
26388996224287919219454260322117469678368120
30664753019148837530314107869730876010753660
35276769831415485150919681333864128969793576
40172513173808540951845619516451598226466104
45281137957422049553001628545536394641885744
50513824674851115392494485009376196024849108
55765210569942437059219088690869008224818840
60915990501386158579490222380092110933997752
65836680586003001898819379501588635591917040
70392442562495003502532290049042655632728744
74448767058174943165290232665386402196914800
77877719268293335318472894792521294398605072
80564371506352574925217855777504312935627936
82412993811981675212083018007612389415063658
83352554747990972101766322108127324830812028
83341105113330742728313156337180758985928252
82368678947067794944609521560171733697567560
80458445691504788722860163975643012146100732
77665976898065147722520327485550483711598616
74076638598670064317949156330310671310275224
69801271888091674403395245643465299854046096
64970463783373080803488605563716078041998924
59727823343827915202403965687599494578582552
54222752422621808276834571605209056955839592
48603228689930834933857473670731794933114672
43009098462264845869393083661794944756474744
37566311735201939491157019644242672155289776
32382430080344295167036624219817607028258288
27543612052598813644503337378520887071734432
23113144963591072672556664065961998843258500
19131461054431361822796580350360123626125064
15617463352691421620987026046209478754416600
12570901757592985726602255738073215177863952
9975488936723064788231161177900136058358456
7802429718010215131677367908244993478407408
6014053930340373572191154586882070254048560
4567284879315937512853984969144489158320800
3416735534542165571874596057150864345545672
2517292987739600321784111458680166237729744
1826120254012222573478628535696122029209712
1304065966171485363664109619729785523860128
916522012856313840200522528632599159252368
633804103281859718952963922943457967243552
431150222278532323190325044869056727874336
288438380538330871487576352252906455060416
189720598280394594964654480875438839318846
122657922928894997468299149954703227060012
77924760871367960945001116321460663830676
48632812816255509457394818740702835052360
29807713640365373011568014339320333845412
17936614842743450120975562894606498614200
10593211860911768753558283508352420777608
6138304551418968471910794663853821963664
3488640599323216350018796901621313861412
1944014108104145955480732811003766636696
1061746886823101702080703507846834350680
568143926704995532544818247917979868080
297743965184526343993292808212896223592
152756586588252394360640323396555431536
76691600266156866187380494877890470160
37661532090006724209933236609856407712
18082333476489764475176881718494022836
8484247294136490039161773359799700472
3888321184608780851308644833143215416
1739720810586256904651501803026150928
759512089767136222835386255211404312
323360101620839959707607160477592176
134178461272326178616530192711941104
54232572994563889373842075438974368
21337453347578319310772329951574024
8166585853663072758700591628239632
3038437621115521013399188762050160
1098127661539452669411734530090400
385223108926963051553154781203088
131061522581655642875339386739488
43208431589807552322051186894880
13791080782410450248325154203072
4257434387934555046190410990796
1269919251738217231319692539288
365606897102983217432946877864
101476372581805280399805180560
27120492587985473170004581512
6970220391424262318086119408
1720309814938174860999826832
407126550646248518782633888
92239666183789125434789480
19971944603792862337968496
4125012901912074753618864
811058081377927762191008
151475263170913571453456
26806924022759843344032
4483505696773630813472
706618798086250436032
104602447595513695448
14491605396979153712
1871297598686042576
224191664094990368
24788919621401424
2514273632010848
232268682367776
19378537561280
1445348279984
95166629216
5444445216
265070400
10676064
341440
8128
128
1
```